Reacción a "Premio Abel, el ‘Nobel’ de las matemáticas, para Gerd Faltings por su estudio de las ecuaciones diofánticas"

La noticia de que la medalla Abel haya sido concedida a Gerd Faltings es ¡fantástica! Aunque se le concede el premio por su influencia en geometría aritmética, he de decir que su trabajo ha influenciado también la geometría algebraica y la física matemática. 

Faltings, Medalla Fields (1986) y premio Shaw (2015), es especialmente conocido por su prueba del teorema de Mordell, que establece que para ecuaciones polinómicas que definen curvas de género mayor que uno (por ejemplo, en el caso de curvas planas lisas, aquellas definidas por ecuaciones de grado al menos 4), el número de soluciones racionales es finito. El estudio de estas soluciones racionales se enmarca en la teoría de ecuaciones diofánticas. Estas ecuaciones son especialmente bellas porque se formulan de manera extremadamente simple, pero su comportamiento es sorprendentemente complejo y profundo. Las ecuaciones diofánticas sirven para entender la estructura aritmética de los números y además surgen naturalmente en aplicaciones como la criptografía. El teorema, ahora, de Mordell-Faltings, muestra que dichas soluciones están fuertemente condicionadas por la geometría de la curva asociada.  

Pero la influencia del trabajo de Faltings llega muchísimo más lejos: no solo probó conjeturas que parecían totalmente inalcanzables (como las de Mordell, Shafarevich), sino que construyó parte de las matemáticas necesarias para el avance de otros. El ecosistema de la geometría aritmética, al que Faltings contribuyó de manera decisiva, forma parte del marco conceptual que hizo posible, entre otros avances, la demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles. 

Y más aún, la influencia de Faltings, con su trabajo sobre variedades abelianas (generalizaciones algebraicas y complejas análogas a la forma que tiene un donut), se extiende a áreas como la geometría algebraica en relación con la física matemática. Un ejemplo concreto es su demostración de la fórmula de Verlinde, que permite calcular la dimensión del espacio de bloques conformes; en el lenguaje de la física, esta dimensión se interpreta como la del espacio de Hilbert (el espacio de todos los posibles estados) de ciertas teorías cuánticas de campos, como la teoría de Chern–Simons tras su cuantización.