Premio Abel, el ‘Nobel’ de las matemáticas, para Gerd Faltings por su estudio de las ecuaciones diofánticas

La noticia de que la medalla Abel haya sido concedida a Gerd Faltings es ¡fantástica! Aunque se le concede el premio por su influencia en geometría aritmética, he de decir que su trabajo ha influenciado también la geometría algebraica y la física matemática. 

Faltings, Medalla Fields (1986) y premio Shaw (2015), es especialmente conocido por su prueba del teorema de Mordell, que establece que para ecuaciones polinómicas que definen curvas de género mayor que uno (por ejemplo, en el caso de curvas planas lisas, aquellas definidas por ecuaciones de grado al menos 4), el número de soluciones racionales es finito. El estudio de estas soluciones racionales se enmarca en la teoría de ecuaciones diofánticas. Estas ecuaciones son especialmente bellas porque se formulan de manera extremadamente simple, pero su comportamiento es sorprendentemente complejo y profundo. Las ecuaciones diofánticas sirven para entender la estructura aritmética de los números y además surgen naturalmente en aplicaciones como la criptografía. El teorema, ahora, de Mordell-Faltings, muestra que dichas soluciones están fuertemente condicionadas por la geometría de la curva asociada.  

Pero la influencia del trabajo de Faltings llega muchísimo más lejos: no solo probó conjeturas que parecían totalmente inalcanzables (como las de Mordell, Shafarevich), sino que construyó parte de las matemáticas necesarias para el avance de otros. El ecosistema de la geometría aritmética, al que Faltings contribuyó de manera decisiva, forma parte del marco conceptual que hizo posible, entre otros avances, la demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles. 

Y más aún, la influencia de Faltings, con su trabajo sobre variedades abelianas (generalizaciones algebraicas y complejas análogas a la forma que tiene un donut), se extiende a áreas como la geometría algebraica en relación con la física matemática. Un ejemplo concreto es su demostración de la fórmula de Verlinde, que permite calcular la dimensión del espacio de bloques conformes; en el lenguaje de la física, esta dimensión se interpreta como la del espacio de Hilbert (el espacio de todos los posibles estados) de ciertas teorías cuánticas de campos, como la teoría de Chern–Simons tras su cuantización.

Honestamente, al conocer la noticia, me ha dado mucha pena no ver el nombre de una matemática. Estoy convencida de que muchas serían merecedoras del galardón y, por otra parte, serviría para dar visibilidad en los medios al papel de la mujer en matemáticas. Al menos, durante unos días. Y esta visibilidad cada vez es más necesaria. 

Pero, sin duda, Gerd Faltings es uno de los matemáticos más importantes de la actualidad. Buena prueba de ello es que ya obtuvo la Medalla Fields hace cuarenta años. El campo en el que ha realizado mayores aportaciones es en el de la geometría aritmética, disciplina que utiliza técnicas de la geometría algebraica a problemas en teoría de números. Sobre todo, la geometría aritmética se centra en problemas diofánticos, el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas. 

Uno de sus resultados más notables (y más bellos, en mi opinión) es la demostración de la conjetura de Mordell. Dicha conjetura establece una relación entre las soluciones racionales de una curva con su forma, más concretamente con el número de agujeros que tiene su representación. Concretamente, Mordell conjeturó en 1922 y Faltings probó en 1983 que una curva de género (número de agujeros) 2 o más no puede pasar por infinitos puntos racionales. 

Esta relación entre la topología de una curva y sus soluciones racionales supone un gran avance en uno de los campos que el gran Gauss calificaba como ‘la reina de las matemáticas’.  

También son fundamentales sus aportaciones en teoría de Hodge, que, de nuevo, supone el uso de herramientas de ramas, en principio, muy alejadas de las matemáticas, para obtener resultados en otra rama. Concretamente, obtiene resultados de topología algebraica (cohomología de variedades geométricas) usando ecuaciones en derivadas parciales. 

En resumen, Faltings ha realizado avances muy significativos en disciplinas de las matemáticas en las que los resultados pueden tener notable dificultad, realizando aproximaciones muy novedosas, usando herramientas de otras ramas de las matemáticas, probando la interconexión entre disciplinas que pueden parecer muy alejadas y aportando herramientas que han probado ser de gran utilidad. Un premio muy merecido.

Gerd Faltings es uno de los matemáticos más influyentes de los últimos 50 años.  Ha resuelto numerosas conjeturas que llevaban largo tiempo abiertas, como la conjetura de Tate para variedades abelianas, la conjetura de Shafarevich, la conjetura de Mordell y la conjetura de Mordell--Lang. En su momento las demostraciones presentadas por Faltings sorprendieron a los expertos por su visión y destreza técnica y abrieron nuevas vías de estudio.

Recibió la medalla Fields en 1986 por su demostración de la conjetura de Mordell y ha obtenido también muchos otros premios y distinciones, como el premio Shaw en 2015 o la medalla Cantor en 2017. 

Pero, además de demostrar impresionantes conjeturas, Gerd Faltings ha introducido numerosas técnicas nuevas en lo que conocemos como geometría aritmética, una disciplina en la intersección de la geometría algebraica y la teoría de números. Por ejemplo, su monografía Degeneration of Abelian Varieties, escrita junto a Ching-Li Chai, es utilizada asiduamente por numerosos investigadores, más de 30 años después de su publicación. También ha sido un pionero en campos como la teoría de Arakelov o la teoría de Hodge p-ádica. 

Es sorprendente la variedad de temas en los que Faltings ha trabajado y ha hecho contribuciones importantes. Como él mismo indica en su perfil investigador como miembro de la Academia Europea, Gerd Faltings investiga "en aquello que encuentra interesante". 

Se puede decir que las ideas y trabajos de Faltings han dado forma a lo que hoy conocemos como geometría aritmética. Me parece que la concesión del premio Abel a Gerd Faltings es más que merecida y es el reconocimiento a su talento y trabajo.